[TheFlashes]

Może mi ktoś wytłumaczyć skąd się tam bierze ten element zaznaczony na czerwono? To wygląda ten sam człon był zapisany dwa razy tylko inaczej przekształcony ale w takim wypadku dlaczego nie ma tam = tylko ≤ ?

#matematyka #studbaza #studia

[Krolowa_Nauk]

@TheFlashes: Każde n z licznika zostało ograniczone z góry przez (n+1), ale w zamian podzielono całość przez 2. Trzeba się tylko zastanowić nad jakimś zgrabnym uzasadnieniem, że n^n <= (n+1)^n/2.

[Krolowa_Nauk]

@TheFlashes: To jest chyba wystarczający argument: (n+1)^n / 2 = (n^n + n*n^(n-1) +... + 1) / 2 = ( 2 n^n + ... + 1) / 2 >= (2n^n) / 2 = n^n (wykorzystuję tutaj trójkąt Pascala).

[Melson]

@TheFlashes: Prawą stronę można rozpisać z dwumianu Newtona i operując na pierwszych trzech składnikach, można zobaczyć, że one są większe niż lewa strona, ale sposób @Krolowa_Nauk wydaje się prostszy

[TheFlashes]

@Krolowa_Nauk: Dzięki za odpowiedź ale chyba jestem za głupi na to (╯︵╰,)
Ogólnie mam rozwiązanie tego przykładu tylko po prostu próbuję ogarnąć co tam się dzieję, i chodzi mi o to dlaczego w tezie nierówność ma dwie części tz. lewą "n!" oraz prawą "(n/2)^n" a potem nagle pojawiają się trzy części czyli dwa te znaki "≤"

[Melson]

@TheFlashes: Ogólnie to mamy założenie indukcyjne n! ≤ (n/2)^n i chcemy pokazać, że to działa dla n ≥ 6.
Najpierw sprawdzamy, że jest to spełnione dla n=6. Z podstawienia dostajemy, że 720 ≤ 729, więc jest to prawda.
Następnie chcemy pokazać, że zakładając prawdziwość dla n, możemy dostać prawdziwość założenia indukcyjnego dla n+1. Jak pokażemy takie coś, to wtedy mamy to pokazane dla każdego n ≥ 6, bo wynika to z