[marek_antoniusz]

#matematyka #ciekawostki #wojsko #iiwojnaswiatowa #historia #wywiad #ciekawostkihistoryczne #statystyka
Alianci chcieli oszacować jak szybko siły niemieckie produkują czołgi
Stąd pochodzi nazwa zagadnienia - German tank problem.

Oczywiście na początek przychodzą do głowy jedynie tradycyjne metody wywiadowcze. Jednakże statystycy wpadli na nieco inny pomysł, który w praktyce okazał się o wiele bardziej dokładny, niż informacje uzyskane tradycyjnymi sposobami.

Na początek rozpatrzmy sytuację, która tylko pozornie wydaje się być oderwaną od problemu. Załóżmy, że mamy urnę z kolejno ponumerowanymi kulami (1, 2, 3 i tak dalej) i chcemy w przybliżeniu określić ile jest wszystkich kul w urnie mogąc wyciągnąć jedynie pięć. Dla przykładu, ile w urnie najprawdopodobniej jest kul skoro udało nam się wyciągnąć te o numerach: 52, 71, 129, 151, 320? Oczywiście częśc osób może olać wyciągnięte kule i próbować ważyć urnę (choć ciężko oszacować wagę samej urny), bądź wkładając rączki do środka starać się jakoś policzyć ile ich jest (nie jest to jednak łatwe bez zerkania do środka). Te sposoby nazwałbym tradycyjnymi metodami wywiadowczymi ;) Przejdźmy jednak do konkretów.
Na pewno wiemy, że kul jest przynajmniej 320, ponieważ największy numer, który widzieliśmy to 320. Oznacza to, że możemy z pełną pewnością określić minimalną ilość kul. Nas jednak interesuje górne ograniczenie.
Okazuje się, że możemy je określić. Nie wdawać się w szczegóły (choć nie są skomplikowane - wymagają podstaw rachunku prawdopodobieństwa, bądź statystyki), przy takim ułożeniu kul możemy być prawie pewni, że kul jest co najwyżej 582 (pisząc prawie pewni, mam na myśli, iż istnieje jedynie 5% prawdopodobieństwo, że się pomylimy).
Jak można to intuicyjnie zrozumieć? Dlaczego kul najprawdopodobniej nie ma więcej?
Wyobraźmy sobie, że kul jest 2000 i wybralibyśmy 5 z nich. Czy wydaje się możliwe, że nie wybralibyśmy żadnej z numerem większym niż 320? Okazuje się, że wybranie jedynie małych liczb jest bardzo nieprawdopodobne i maleje wykładniczo z każdą kolejną kulą. To znaczy, że z każdą kolejną kulą nasza dokładność znacznie wzrasta.
A może na przykładzie?
Gdybyśmy mogli wyciągnąć jedynie jedną kule, a nie pięć, nie powiedzielibyśmy zbyt wiele. Gdyby tą jedyną kulą była trzydziestkadwójka wiedzielibyśmy prawie napewno, że kul jest co najwyżej 6400. Dokładność nie robi wrażenia i pewnie ważenie urny, czy oszacowanie liczby kul wkładąc do niej łapki byłoby dokładniejsze.
Z drugiej strony, jeśli moglibyśmy wyciągnąć dziesięć kul i największy numer byłby równy 320 to oznaczałoby, że kul jest prawie napewno od 320 do 432. Przy dwudziestu kulach, wiedzielibyśmy prawie na pewno, że kul jest od 320 do 371. O wiele dokładniejszy wynik.

W praktycznym zagadnieniu alianci zdecydowali się zamiast kul rozważać czołgi, których koła miały wpisywane numery seryjne. Gdybyśmy przyglądnęli się problemowi dokładniej to wiedzielibyśmy, że znamy nie tylko przedział w którym zawiera się możliwa produkcja czołgów, ale wiemy która z liczb w danym przedziale jest najbardziej prawdopodobną. To znaczy, że po za tym, że ilość czołgów zawiera się między 320 a 582, wiemy że napewniej jest to 383. Jest na to prosty wzór: m - 1 + m/k, gdzie m to maksimum wśród znalezionych liczb, a k to ilość wylosowanych liczb.
Dla pierwszego przykładu byłoby to odpowiednio 32 oraz 5, czyli szacunkowa ilość wszystkich kul to 320 - 1 + 320/5 = 319 + 64 = 383.

A jak to było na prawdę?
Według szacunków wywiadu aliantów Niemcy produkowali około 1400 czołgów miesięcznie od czerwca 1940 r. do września 1942. Stosując powyższy wzór dla numerów seryjnych przechwyconych niemieckich czołgów (zarówno sprawnych i zniszczonych), liczba została obliczona na 246 miesięcznie. Po wojnie okazało się, że pokazał rzeczywistą liczbą było 245 (Gavyn Davies. How a statistical formula won the war The Guardian, 20 July 2006).

Wpis wziąłem od kolegi stąd:https://www.wykop.pl/wpis/6878824/matematyka-ciekawostki-wojsko-bezuzytecznawiedza-d/

[j.....0]

Zastosowania matematyki w wojsku dla wielu kojarzą się głównie z kryptografią (słusznie zresztą). Niemniej statystyka również odegrała znaczącą rolę chociażby podczas II WŚ. Np. na podstawie uszkodzeń samolotów wracających z frontu szacowano które elementy należy mocniej zabezpieczyć. Ktoś powie co to za matematyka, powiedzieć że jeśli wśród wracających samolotów więcej dziur było w kadłubach niż okolicach silnika to należy dozbroić kadłub. No właśnie o to chodzi że nie (skoro po dziurach w

[bulbulatorium]

@marek_antoniusz i to jest ciekawostka.

[c.....r]

@marek_antoniusz: Świetny wpis. Ale czemu „ilość czołgów”, a nie „liczba”? Czołgi są jak najbardziej policzalne, a co więcej – o tym w sumie jest Twój post xD

[Delfin17]

@marek_antoniusz: Jak alianci doszli do tego ile czołgów powstawało miesięcznie? Szacowali np ilość czołgów w czerwcu, po czym spisywali przez cały lipiec wszystkie numery seryjne zniszczonych lub przejętych czołgów i szacowali jeszcze jeden raz, a różnicą z tych dwóch miesięcy był przyrost?

[HetmanPolnyKoronny]

@marek_antoniusz: wpis ciekawy, ale mam parę wątpliwości. Przy kulach zakładamy, że znamy początek przedziału oraz wiemy, że jest on ciągły. W przypadku numerów seryjnych tak być nie musi. Poszczególne zakłady lub linie produkcyjne mogły dostawać swoje pule numerów, część z tych zakresów mogła być nigdy nie wykorzystana, bywało również, że dla zmylenia przeciwników lub z innych powodów numery te zaczynały się od nietypowych wartości lub kolejne serie po zmianach miały zupełnie

[piotyr18]

@marek_antoniusz #qualitycontent

[wpiot]

@HetmanPolnyKoronny: znając Niemców porządek musiał być i dlatego się udało :)

[HetmanPolnyKoronny]

@wpiot: niekoniecznie chodzi o brak porządku, Niemcy potrafili robić numery seryjne, które celowo utrudniały oszacowanie wielkości produkcji. Robili tak podczas drugiej wojny.

[kaef_v2]

@marek_antoniusz: o taki wypok nic nie robiłem!

[Aryo]

@marek_antoniusz: o jak cię szanuję za ten wpis. Statystyka zgodnie z tym opisem wydaje się o wiele ciekawsza

[b.....y]

niekoniecznie chodzi o brak porządku, Niemcy potrafili robić numery seryjne, które celowo utrudniały oszacowanie wielkości produkcji. Robili tak podczas drugiej wojny.

@HetmanPolnyKoronny: Wydaje mi się że alianci po przechwyceniu pewnej ilości czołgów brali pod uwagę to co napisałeś i zauważyli pewne zależności.

[KuterPstragow]

@bepavuy: @HetmanPolnyKoronny: @marek_antoniusz:

Alianci zauważyli że na (I tutaj nie pamiętam na 100% jakiej czesci, ale wydaje mi się że to byl:) blotnikach wybijanie byly numery seryjne w stylu rr/mm/nralseryjny.

Warto dodać ze od tego momentu wszystkie numery seryjne na pojazdach przez kilkadziesiąt lat (nir wiem jak jest teraz, na pewno było tak na początku zimnej wojny) byly "szyfrowane" aby uniknąć tak łatwego rozpracowania.

[b.....y]

@KuterPstragow: strona na angielskiej wiki jest bardzo rozbudowana i problem nie sprowadzał się do jednego wzoru. Są jakieś informacje o szyfrowaniu tych numerów seryjnych także na pewno wiedzieli co robią, tam nie było debili.
Ogólnie jak czytam te komentarze o szyfrowaniu to mam przed oczami ten mem

[KuterPstragow]

@bepavuy: no to cytując wiki:

. To do this, they used the serial numbers on captured or destroyed tanks. The #!$%@? numbers used were gearbox numbers, as these fell in two unbroken sequences. Chassis and engine numbers were also used, though their use was more complicated. Various other components were used to cross-check the analysis. Similar analyses were done on wheels, which were observed to be sequentially numbered (i.e., 1, 2,

[temokkor]

@marek_antoniusz: taguj #gruparatowaniapoziomu . Btw rozkład Gaussa ma tu coś do rzeczy ?

[appylan]

Tsktyk

[Cooperr]

@marek_antoniusz chyba właśnie mi wytłumaczyłeś rachunek prawdopodobieństwa, dzięki! Mam tylko pytanie. Skąd wiesz że jeżeli twoja największa liczba wyciągnięta to 320 to maksymalna to np 520?

[philger]

@Cooperr: 520 to nie liczba maksymalna, tylko prawdopodobieństwo każdej większej liczby było już na tyle małe że można je było z dużą dozą pewności odrzucić.

[fra234]

@Cooperr nie tyle rachunek prawdopodobieństwa co statystykę, dzidzina pokrewna choć w pewnym sensie zajmująca się problemami "odwrotnymi" do RP.