[gailanonim]

Mireczki moje kochane. Muszę sprawdzić czy {(x,y,z) ∈ R3 : x + y + z = a} a ∈ R jest podprzestrzenią wektorową. Po zsumowaniu dwóch wektorów mam wynik, że w1 + w2 = 2a (co jest bardzo logiczne jakby nie patrzeć). I teraz nie wiem czy rozumiem, że 2a ∈ R czyli jest ok, ale z drugiej strony nie spełnia warunku z tej definicji(?) podprzestrzeni, że suma jest równa a. Co z tym fantem zrobić? Mógłby ktoś podpowiedzieć?

#matematyka

[Blomex]

@gailanonim: przeczytaj definicje podprzestrzeni liniowej

[Blomex]

@gailanonim: u nas sie to robilo tak:
Pokazywalismy że dla skalarów a,b i wektorów z tej przestrzeni u, v czy av+bu też należy do przestrzeni.

[gailanonim]

@Blomex: Czyli jeśli mam wektor o 3 wymiarach x, y, z, a ich suma ma się zawierać tylko w jednym wymiarze, to w takim razie będzie ta przestrzeń istniała wyłącznie dla np. y, z = 0 czyli nie jest to podprzestrzeń? Dobrze rozumuję?

[Blomex]

@gailanonim: nie.
Do tej przestrzeni należą wektory takie, że suma ich współrzędnych sumuje się do K, gdzie k jest jakąś liczbą rzeczywistą
Np a(1,5,7) jest takim wektorem, bo 1+5+7=13 i 13 jest rzeczywiste
b(i, -i, 1) też jest takim wektorem , bo i-i+1=1 i 1 jest rzeczywiste.
c(i,1,2) nie należy do tej przestrzeni, bo i+1+2=3+i, a to nie jest liczba rzeczywista.

[Blomex]

@gailanonim:
Żeby udowodnić że coś jest podprzestrzenią liniową:
Musisz pokazać, że wektor 0 należy do tej przestrzeni
Pokazać, że jeśli vektor v należy to przestrzeni to a*v też, gdzie a to dowolna liczba rzeczywista
Pokazać, że jeśli wektory v i u należą do tej przestrzeni, to ich suma też.
Podpowiedź: robiliście podobne zadanie ale zamiast z k rzeczywistym to x+y+z=0?

[gailanonim]

@Blomex: Tak tak, były takowe zadania robione. 0 należy do tej przestrzeni, bo 0 + 0 + 0 = 0, a 0 ∈ R. Teraz tak, suma dwóch wektorów jest równa 2k, a 2k należy do rzeczywistych. Podobnie pomnożone przez skalar, również wynik należy do liczb rzeczywistych. Tylko jeśli oba wektory należą do tej przestrzeni to ich suma będzie również należeć tylko wtedy gdy będzie równa k (suma współrzędnych jednego wektora),

[Blomex]

@gailanonim: k jest dowolną rzeczywistą. To wynika z treści. Gdyby było "dla jakich k .... jest podprzestrzenią liniową" to byś sprawdzał dla konkretnych k.

[gailanonim]

@Blomex: Czyli w takim razie jest to podprzestrzeń, tak?

[Blomex]

@gailanonim: tak

[gailanonim]

@Blomex: Dzięki wielkie. Wiele mi rozjaśniłeś.

[tyrytyty]

@gailanonim: nie musisz pokazywać że 0 należy, to wynika z tego że c * alfa należy jeśli alfa należy bo można wziąć c = 0

[M.....k]

@Blomex: Lol, no nie! Patrz niżej.
@gailanonim: Nie jest to podprzestrzeń, chyba, że a=0. Zadanie należy rozumieć tak: Dla jakich wartości parametru a podprzestrzeń opisana równaniem x+y+z=a jest podprzestrzenią liniową. Jeśli a != 0 to zauważmy, że wektor zerowy nie należy do naszego zbioru, więc nie ma podprzestrzeni liniowej (ale też dla a!=0 zbiór nie jest zamknięty ze względu na dodawanie wektorów).
jak a=0 to mamy zbiór x+y+z=0 i tutaj

[Blomex]

@Mopsiak: możliwe że tak należy to rozumieć.

[a.....r]

b(i, -i, 1) też jest takim wektorem , bo i-i+1=1 i 1 jest rzeczywiste.

c(i,1,2) nie należy do tej przestrzeni, bo i+1+2=3+i, a to nie jest liczba rzeczywista.

@Blomex: a teraz wyjaśnij nam wszystkim skąd tu liczby zespolone, skoro z zadania wynika, że jesteśmy w R. I zadanie z pewnością należy rozumieć jako "ustalamy pewne a z R", a nie "x+y+z równa się dowolnemu a", bo w drugim przypadku tak przestrzeń

[M.....k]

@Blomex: Nie możliwe, a nawet napewno.

[Blomex]

@adibor:oczywiście masz rację, zadanie dla dowolnego a nie ma sensu bo przecież jesteśmy w R^3 a nie C^3. W takim wypadku również przykłady podane przezemnie nie mają odzwierciedlenia w tym zadaniu. Zadanie miałoby sena dla dowolnego a jeśli bylibyśmy w C^3 (pokazanie że R^n jest podprzestrzenią liniową w C^n)
Na swoją obronę mam tylko to, że miałem to dość dawno.

[gailanonim]

@Mopsiak: dzięki wielkie. Czułem, że to a musi być w jakiś sposób określone, a nie jakieś dowolne. Z drugiej strony zastanawiam się czy poprawna odpowiedź nie zależy od prowadzącego (jak to często na studiach bywa). Być może Blomex ty miałeś rację dla Twojego prowadzącego. Tak, matematyka jest jedna, zasady matematyki też, ale interpretacja zadań i treści, jak pokazuje doświwadczenie, niekoniecznie.

[M.....k]

@gailanonim: Niestety, jeśli są problemy z interpretacją treści to znaczy, że prowadzący słaby. Treść powinna być sformułowana precyzyjnie.